Больцано (1781—1848) родился в Праге в семье торговца предметами искусства. Бернард был четвертым ребенком в семье, часто болел. После окончания гимназии в 1796 г. Больцано поступил на философский факультет Пражского университета, который с отличием закончил в 1800 г., и затем начал изучать богословие.
По окончании богословского факультета он был избран заведующим кафедрой философии религии Пражского университета. В течение двух недель после избрания Больцано получил степень доктора философии и принял сан.
Больцано был любим студентами, но его не жаловали церковные иерархи. Папа римский обращался к австрийскому императору, настаивая на смещении Больцано за его свободомыслие. Его привлекали к допросам, всячески пытались выманить у него публичное отречение. В 1820 г. решением императора его изгнали из университета и он был взят под надзор полиции.
Живя в деревне, Больцано занимался наукой. В научных вопросах он отличался холодной строгостью, которая контрастировала с его необыкновенной мягкостью в повседневной жизни.
В 1843 г. Больцано заболел тяжелым воспалением легких. Осенью 1848 г. его состояние ухудшилось, и 21 декабря 1848 г. он умер.
При жизни Больцано было напечатано только пять небольших работ по математике (первую он написал в 23 года) и ряд философских работ, вышедших анонимно. Только спустя век после его смерти была извлечена из архивов замечательная работа «Учение о функциях» и признаны его заслуги в математике. Долгое время математические работы Больцано оставались незамеченными, непонятыми и не оцененными по заслугам. Поэтому они не повлияли
заметно на развитие математики, которая независимо от них пришла спустя десятилетия к тем же результатам. Много позже, после изучения работ Больцано, было установлено, что заслуга первого открытия многих важнейших положений, приписываемых другим, по праву принадлежит именно Бернарду Больцано.
Сосредоточившись на философском значении математики и на ее логическом обосновании, Больцано занялся прежде всего ее определением как науки. Сочинение «К более обоснованному изложению математики» (1810) содержало две главы: «О понятии математики и ее разделах», «О математическом методе», а в приложении к ним — критику взглядов Канта на происхождение понятий. Общепринятое школьное определение математики того времени как науки о величинах Больцано отвергает.
Начатая Больцано грандиозная работа по расчленению математических понятий, их очистке и обоснованию оказалась необыкновенно плодотворной. Но потребовалось почти 100 лет, чтобы идеи Больцано, Коши, Лобачевского о необходимости дать математическому анализу и геометрии новый прочный логический фундамент были осуществлены Кантором и Гильбертом.
Поставив себе целью построить логически безупречные основы математики, Больцано уделил главное внимание математическому доказательству. Настаивая на выделении аксиом в особую группу предположений, для каждого из которых должно быть показано, что оно не доказуемо, и объяснено, почему не доказуемо (т. е. не выводимо из остальных аксиом), Больцано сформулировал один из основных принципов современного математического метода. К самому математическому доказательству Больцано предъявлял два требования: при построении доказательства необходимо использовать, во-первых, все посылки, а во-вторых, только исходные понятия. Больцано отвергал введенное Кантом противопоставление математического доказательства доказательству логическому.
Однако великая историческая заслуга Больцано заключается не в попытке обоснования арифметики и геометрии, а в постановке и решении на новой основе ведущих вопросов математического анализа. Необыкновенно ясно и уверенно, хотя не всегда с современной точки зрения безупречно, он приступил к построению анализа на чисто арифметических основах. В «Чисто аналитическом доказательстве» (1817) Больцано сформулировал и доказал теорему о верхней грани ограниченного сверху множества, в настоящее время носящую имя Вейерштрасса, хотя последний высказал ее в своих лекциях, которые он начал читать лишь в 1860 г. За четыре года до Коши и более точно, чем он, Больцано вывел необходимое условие сходимости рядов с действительными числами.
Больцано положил начало созданию теории множеств. В «Парадоксах бесконечности» (1851) он исследовал бесконечные множества, таким образом, он был предшественником Кантора в их изучении. Отправляясь от идеи Лейбница, он отстаивал объективность актуальной бесконечности. При этом он различал два рода существования объективного: существование реальное — «непосредственно данное»; существование нереальное, но возможное — существование «в себе». Возможность нереального объективного существования не зависит от субъективного знания и создается не мышлением (по Больцано, возможность мыслить вещь не является основанием для возможности ее существования), а «чистыми понятиями», которые играют роль определяющего начала и для всего реального, и для всего объективно возможного.
Больцано вплотную подошел к определению бесконечного множества как множества, чьи элементы могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие по меньшей мере с одной его правильной частью, а также к формулировке важнейшего понятия теории множеств — к понятию мощности. Однако ни в том, ни в другом пункте последнего решающего шага он все же не сделал.
Говоря о значении математических работ Больцано, нельзя не восхищаться смелостью, проникновенностью, глубиной его идей, которые на полвека опередили свое время. Он достиг замечательных результатов, занимаясь математикой лишь между делом, ибо делом своей жизни он считал не математику, а философские и теологические работы и проповедь социальных взглядов.