Давид Гильберт (1862—1943) родился в городке Велау вблизи Кенигсберга в семье окружного судьи Отто Гильберта и дочери купца Марии Терезы. Отец учил его пунктуальности, бережливости, дисциплине и уважению к закону. Мать дала ему первые уроки математики и астрономии.
Осенью 1880 г. после окончания лучшей гимназии города Кенигсберга, в которой ранее учился Иммануил Кант, Давид поступил на математический курс философского факультета Кенигсбергско- го университета. В то время студенты часто переходили из одного университета в другой. Во втором семестре Гильберт учился в Гейдельбергском университете, а затем вернулся в Кенигсбергский университет. Весной 1882 г. он подружился с будущим знаменитым математиком Германом Минковским.
После окончания университета Гильберт защитил диссертацию, в которой исследовал свойства инвариантности некоторых алгебраических форм. Тему, предложенную ему научным руководителем Линдеманом, Гильберт раскрыл новым, оригинальным способом. Полученная степень доктора философии не давала права читать лекции. Чтобы иметь право стать учителем гимназии, Гильберт решил сдавать государственный экзамен. Сдав его в мае 1885 г., он поехал в Лейпциг к Клейну. Доклад Гильберта на семинаре в Лейпциге в 1885 г. понравился Клейну, который позже писал: «Когда я услышал его доклад, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике».
Летом 1886 г. в Париже Гильберт познакомился с известными французскими математиками Пуанкаре, Жорданом и Эрмитом. В Кенигсберге в июле 1886 г. он получил звание приват-доцента, дающее право на чтение лекций, и решил в каждом семестре читать лекции по разным курсам, не повторяясь.
В 1888 г. Гильберт поехал в Эрланген, где встретился с «королем инвариантов» Паулем Горданом. В теории инвариантов в то время в течение 20 лет существовала проблема Гордана, являющаяся чисто математической и вызванная внутренним развитием математики. Нужно было проверить, существует ли базис, т. е. конечная система инвариантов, через которые рационально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов.
Гильберт увлекся этой проблемой и 6 сентября 1888 г. послал короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества, в которой сделал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана для форм от любого числа неизвестных. Решение Гильберта не было конструктивным: оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной конструкции для его построения. Оно не понравилось Гордану, который заявил: «Это не математика. Это теология» [45, с. 366]. Гордая был против публикации доказательства в таком виде, а Гильберт ничего не хотел менять. Позже, в 1892 г., ему удалось предложить метод, позволяющий за конечное число шагов получить искомую конструкцию .
Гильберт был первым, кто осознал глубокое значение и силу косвенных, не конструктивных доказательств. При решении проблемы Гордана он нашел свой метод, которым в дальнейшем успешно пользовался. Многим математикам метод Гильберта был чужд. Линдеман считал этот метод неудобным, чудовищным, сверхъестественным, и только Клейн оценил его перспективность. В работе Гильберта, которую Клейн взял с собой в Чикаго на Международный конгресс математиков в честь основания Чикагского университета, сказано: «В истории математической теории легко различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что касается теории алгебраических инвариантов, то ее первых основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия инвариантности и изящно применяя их к решениям уравнений первой степени, они испытали первые радости открытия. Клебш и Гордан, которые изобрели и привели в совершенство символическое исчисление, были лидерами второго периода. Критический период нашел свое выражение в теоремах, которые я перечислил выше…» . Это были собственные теоремы Гильберта.
После решения проблемы Гордана Гильберт больше не занимался теорией инвариантов, которая была развита практически до конца. В октябре 1892 г. Гильберт дал новое доказательство трансцендентности чисел е (впервые получено Эрмитом) и (впервые получено Линдеманом). Он получил должность профессора и интенсивно занялся теорией чисел. Немецким математическим обществом ему было поручено подготовить обзор по теории чисел и отобрать идеи, наиболее перспективные для дальнейших исследований. На эту работу ушло три года.
Гильберт обнаружил глубокие связи между теорией чисел и другими разделами математики. Его монументальный обзор появился в 1896 г. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, он придал теории чисел величественную унифицированную форму. Результаты, опубликованные им, значительно превосходили то, что ожидало от него Математическое общество. Позднее их назвали истинной жемчужиной математической литературы. Применяя для решения проблем новые методы, намного превосходившие по элегантности и простоте методы, использовавшиеся до него, Гильберт дал новую жизнь теоретико-множественным работам XIX в. и указал направление для работ XX в.
В 1895 г. по приглашению Клейна Гильберт приезжает в Геттинген. Он продолжает исследования по теории чисел. Главный его интерес состоял в обобщении закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру и строго доказанный восемнадцатилетним Гауссом, считался жемчужиной теории чисел. Гильберту удалось переформулировать его и изложить в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему угадать формулировку закона взаимности для степеней, бблыпих двух, хотя он и не смог доказать его для всех случаев.
Венцом разработок в этой области была статья Гильберта «О теории относительно абелевых полей». В этой программной работе он дал набросок обширной теории, получившей известность как теория полей классов. Здесь была явно продемонстрирована выдающаяся математическая интуиция Гильберта. Статье суждено было открыть исследования по полям алгебраических чисел, но этим занимались другие математики, так как Гильберта заинтересовала геометрия, курс которой он начал читать в 1898—1899 гг.
После открытия неевклидовых геометрий некоторые математики пытались исключить все скрытые предположения, нарушающие логическую красоту труда Евклида. Наибольших результатов достигли Паш, исключивший все оплошности, и Пеано, который перевел результаты Паша на язык символической логики. Гильберт решил представить в классических рамках современную точку зрения с еще большей ясностью, чем это сделали его предшественники. Он положил в основы геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющих доказать все теоремы геометрии Евклида. В 1899 г. он публикует небольшую по объему классическую книгу «Основания геометрии», в которой систематически излагает все полученные им результаты. Эпиграфом к своей работе Гильберт выбрал цитату из Канта: «Любое человеческое знание начинается с интуиции, затем переходит к понятиям и завершается идеями». Книга получила восторженные отзывы и стала математическим «бестселлером». Один из рецензентов писал: «Широкое распространение принципов этой работы принесет много пользы для логического метода в любой науке и для ясного мышления и выражения мысли вообще» . Созданный Гильбертом метод изложения материала в последующие годы стал общепринятым и получил название «метаматематика».
Установив образец современного строгого мышления в виде традиционной лестницы — первичные понятия, аксиомы, теоремы, — Гильберт потребовал, чтобы система аксиом удовлетворяла следующим условиям:
— она должна быть полной, т. е. такой, чтобы из нее можно было вывести любую теорему;
— она должна быть независимой, т. е. отсутствие одной из аксиом системы делает невозможным доказательство по крайней мере одной теоремы;
— она должна быть непротиворечивой, т. е. не позволяющей получать противоречащие друг другу теоремы.
Характерное для Гильберта сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка было особенно эффективным. Он исследовал взаимную независимость своих аксиом. Его метод основан на построении моделей, причем если модель противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям остальных аксиом, значит, первая аксиома не является следствием остальных.
Одна из знаменитых проблем математики конца XIX в. называлась принципом Дирихле. Этим принципом пользовался Риман в своей докторской диссертации в 1851 г., он же дал принципу и название. По Риману, задача, которая «разумна физически», будет «разумна математически». На физической интуиции было основано предположение, что всегда существует решение краевой задачи для уравнения Лапласа. Гаусс считал, что эта задача может быть сведена к задаче минимизации двойного интеграла функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. Для одной из этих функций интеграл должен принимать точную нижнюю границу своих значений. Рассуждение такого рода и называлось принципом Дирихле. Вейерштрасс подверг принцип Дирихле критике, уже после смерти Римана указав пример, в котором нельзя было найти функцию, минимизирующую интеграл. Это могло означать конец принципа Дирихле, и математики потеряли всякую надежду на его «спасение».
В сентябре 1899 г. Гильберт смог предъявить статью, являющуюся, как он говорил, первой попыткой «воскрешения принципа Дирихле». В этой статье объемом менее пяти страниц он показал, что при более сильных ограничениях на функции, участвующие в задаче, можно добиться того, что принцип Дирихле будет выполняться. Спустя шесть лет Гильберт привел второе доказательство возможности применения принципа Дирихле.
Под влиянием Гильберта физик Вальтер Ритц создал мощный метод для численного решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. С развитием ЭВМ метод Ритца стал эффективным средством вычислительной математики.
В Париже летом 1900 г. состоялся II Международный конгресс математиков, где Гильберту было предложено выступить с докладом. Он сделал доклад о перспективах развития математики в XX в. и сформулировал проблемы, решение которых, по его убеждению, сыграет важную роль в прогрессе математики в наступающем столетии.
Первые шесть проблем относились к основам математики. В них сказывалось влияние недавней работы по основам геометрии и энтузиазм Гильберта по поводу возможностей аксиоматического подхода. Другие проблемы были более специальными и индивидуальными, частью старыми и хорошо известными, частью новыми, однако все они затрагивали прошлые, настоящие или будущие интересы Гильберта.
Доклад Гильберта полностью захватил воображение всего математического мира. Авторитет Гильберта давал основание надеяться, что перечисленные проблемы удовлетворяют сформулированным им критериям великих математических проблем и что настанет время, когда они будут полностью решены. Его быстро растущая слава обещала всеобщее признание любому математику, который решит хотя бы одну из сформулированных проблем).
Зимой 1900—1901 гг. один студент из Швеции принес на семинар Гильберта работу шведского ученого Ивара Фредгольма по интегральным уравнениям. Со времен Абеля теория интегральных уравнений развивалась очень медленно. Фредгольм дал красивое решение одного класса таких уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными и алгебраическими линейными уравнениями.
Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. В первой работе, опубликованной в виде сообщения Геттингенского научного общества, он предложил простой и оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею более точно, чем работа самого Фредгольма. Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над серией ранее недоступных проблем анализа и математической физики.
В 1904 г. Гильберт посылает в Геттингенское научное общество второе сообщение, в котором он представляет аналог приведения квадратичной формы от п переменных к главным осям. Используя связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных функций и собственных значений, тесно связанную с физической теорией собственных колебаний.
Гильберт идет дальше и создает теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория гильбертовых пространств. В ней он доказывает спектральную теорему — одну из самых великих своих теорем. Эта теорема, подобно теореме о приведении квадратичной формы к сумме квадратов в конечномерных пространствах, позволяет классифицировать самосопряженные операторы в бесконечномерных пространствах.
Авторитет Гильберта в начале XX в. был огромен. Чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда до нескольких сотен человек. Ни состав, ни количество слушателей не производили на него впечатления.
Когда в 1905 г. первую премию Больяй вручили Пуанкаре, комитет по премиям отметил математические работы Гильберта наравне с работами Пуанкаре. Осенью 1910 г. Венгерская Академия наук объявила о присуждении второй премии Больяй. Пуанкаре, готовивший общий обзор работ Гильберта, счел нужным упомянуть о таких качествах Гильберта, как разнообразие интересов, важность решаемых проблем, элегантность и простота методов, ясность изложения и забота об абсолютной строгости. Доклад Пуанкаре практически подводил итог работам Гильберта в конструктивной математике, так как интересы Гильберта изменились.
В 1912 г. Гильберт начинает заниматься физикой, главной целью считая введение аксиоматики в физике. Он полагал, что в физике, несмотря на ее триумфальные достижения, отсутствует порядок. К сожалению, десятилетняя работа над этой проблемой не привела к ожидаемым результатам, так как многообразие экспериментальных фактов огромно, их накопление происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод в физике был бы так же полезен, как в математике.
Успехами Гильберта можно считать применение им интегральных уравнений в кинетической теории газов и элементарной теории излучения. Его асимптотическое решение фундаментального уравнения Максвелла — Больцмана, интегрального уравнения второго порядка, позволило четко разделить две группы экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. Работа Гильберта по общей теории относительности может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма.
Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий кризис ее основ. Аксиоматический подход начал давать сбои. Первыми предвестниками такого кризиса были открытые в теории множеств парадоксы. Появилось новое направление в математике, получившее название интуиционизма. В соответствии с концепциями интуиционизма от многого, включая теоремы существования, основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных множеств, нужно отказаться.
Гильберт не мог принять такое «увечье» математики. Он предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и доказательства — выражались бы на языке символической логики в виде предложений, имеющих только символическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем. Непротиворечивость этой формальной системы будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал финитными. Под финитностью понималось, что рассматриваемые суждения, утверждения или определения должны точно соответствовать объекту, используемые методы должны отличаться явной практичностью, чтобы их можно было эффективно контролировать. Таким образом можно было бы преодолеть кризис основ математики и избавиться от него раз и навсегда.
В 1930 г. Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. Ему удалось строго доказать неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные.
Но все же надо сказать, что подход Гильберта значительно обогатил и поднял на совершенно новый уровень всю математическую логику.
В последние годы жизни Гильберт продолжал напряженно трудиться. Время не очень изменило его, лишь подчеркнуло интеллект. К старости его внешность производила большее впечатление, чем в молодости. Доклады Гильберта в Геттингенском научном обществе по-прежнему служили высоким образцом простоты и легкости. Требования к качеству докладов по математике у него были очень высокими. Грубость, с которой он мог обрушиться на того, чей доклад не соответствовал его требованиям, была хорошо известна. Многие крупные математики Европы и Америки опасались читать доклады в Геттингене.
Но состояние здоровья Гильберта постоянно ухудшалось. Осенью 1925 г. было определено, что он страдает злокачественной анемией. Благодаря участию математиков разных континентов его удалось вылечить с помощью нового способа лечения этой болезни, к тому времени открытого в Америке.
Нельзя не отметить мужественную гражданскую позицию Гильберта во время второй мировой войны. В период нацизма семидесятитрехлетний отставной профессор продолжал шокировать окружающих своими парадоксальными высказываниями и пытался бороться против запрещения его коллегам и ученикам еврейской национальности работать в университете. Ему самому пришлось давать объяснение, почему он, пруссак, ариец, носит библейское имя Давид. Вслед за евреями, спасаясь от нацистского режима, один за другим уехали из Германии его друзья, ученики и коллеги. В день его смерти 14 февраля 1943 г. рядом с ним была только его жена. В последний путь его проводили не более дюжины человек.
Со смертью Гильберта математика потеряла одного из своих великих мастеров. После него едва ли можно встретить математика, чья работа не была бы связана в той или иной степени с работами Гильберта. Его имя навсегда останется в истории математики, в таких названиях, как «гильбертово пространство», «неравенство Гильберта», «преобразование Гильберта», «инвариантный интеграл Гильберта», «теорема Гильберта о неприводимости», «теорема Гильберта о базисе», «аксиомы Гильберта», «подгруппа Гильберта», «поле классов Гильберта», «символ Гильберта».