Абель не смог дать общий критерий разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами в радикалах. Эта проблема была разрешена Эваристом Галуа (1811—1832), чрезвычайно яркой, необычной личностью среди всех математиков, известных в истории науки.
Печальна и коротка была жизнь гениального французского математика. Галуа родился в городке Бур-ля-Рен в семье директора пансиона, позже — мэра городка. Его мать, дочь доктора права Парижского университета, дала своему сыну хорошее гуманитарное образование. В 12 лет Эварист поступил в Парижский лицей Людовика Великого. Там он стал одним из лучших учеников, получал похвальные листы и призы за стихи на латинском языке и переводы с греческого. Товарищи не любили Галуа за его резкий характер и не дружили с ним. Не выносили Галуа и учителя. Они знали: чтобы заставить Галуа слушать и работать под их диктовку, надо заинтересовать его, а для этого самим надо много знать, очень много читать и готовиться.
Он быстро охладел к литературе и истории и вскоре остался на второй год в классе риторики. При повторном обучении он стал одновременно учиться в математическом классе, где сразу обнаружились его математические способности. Не интересуясь школьным учебником алгебры, Галуа с поразительной легкостью овладевает математическим анализом. Больше всего его заинтересовала работа Лагранжа, в которой исследовалась проблема разрешимости в радикалах алгебраических уравнений.
В 16 лет он совершает ту же ошибку, которую за несколько лет до него сделал Нильс Абель, — думает, что решил уравнение пятой степени. Он стремится поступить в знаменитую Политехническую школу в Париже, где преподают ученики Лагранжа, так как лицей его уже не устраивает. Попытка поступить в Политехническую школу окончилась провалом: знания работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, чтобы решить изощренные задачи, предлагавшиеся экзаменаторами. Галуа возвращается в лицей.
В 17 лет Галуа получает первые научные результаты. Его статья «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях» была напечатана в «Анналах математики», однако осталась незамеченной. Свою новую работу о разрешимости алгебраических уравнений Галуа послал в Парижскую Академию наук. Оценить его работу и представить совету Академии взялся Коши. Обычно в книгах о Галуа утверждается, что Коши якобы умышленно утаил работу, сомневаясь в том, что юный лицеист смог одолеть столь трудноразрешимую проблему, или что Коши, загруженный делами, просто забыл о рукописях Галуа. Так или не так, но эти рукописи с тех пор считаются утерянными.
Тень непорядочности или, скажем, высокомерной пренебрежительности была наброшена на Коши летописцами жизни Галуа. В 1971 г. в архивах Французской Академии наук было обнаружено письмо Коши, из которого следует, что он внимательно ознакомился с работой Галуа, счел ее важной и планировал представить ее ученому совету Парижской Академии наук в январе 1830 г., но не представил.
Галуа решил еще раз поступать в Политехническую школу. Существует много различных предположений о происшедшем на экзамене. Сохранилась запись Галуа о том, что его экзамен сопровождался «сумасшедшим хохотом экзаменаторов». Так или иначе, но в Политехническую школу он не поступил. Через несколько дней после неудачного экзамена покончил с собой отец Эвариста, 17 лет бывший мэром городка Бур-ля-Рен.
В январе 1830 г. Эварист представляет на конкурс в Парижскую Академию наук следующие три работы. Теперь его судьба в руках секретаря Академии Жана Батиста Жозефа Фурье. Фурье начинает читать рукописи, но вскоре умирает. Рукописи Галуа и на этот раз утрачиваются.
В феврале 1830 г. Галуа был зачислен в Приготовительную школу, где готовили кандидатов на звание преподавателя. Уже через год, в революционном 1830-м, он был исключен из школы за выступление в числе прочих «бунтарей» против ее реакционного директора. Казалось, что вскоре о Галуа забудут, как о многих других несостоявшихся революционерах. Но позднее выяснилось, что Галуа успел состояться как математик, да такой, каких Франция не рождала со времен Декарта.
В январе 1831 г. девятнадцатилетний Галуа, исключенный из школы за свои взгляды, дает объявление в газете, что будет читать публичный курс высшей алгебры. В объявлении указывается, что «… курс состоит из теорий, частично новых, которые никогда еще не изучались в публичных курсах. Мы ограничиваемся тем, что назовем новую теорию мнимых, теорию уравнений, разрешимых в радикалах, теорию чисел и эллиптических функций, трактуемых чисто алгебраически». Было прочитано всего три лекции, гак как они были слишком сложны для слушателей. Из объявления следует, что в то время Галуа уже владел идеями, обессмертившими его имя, — лекции посвящались разрешимости уравнений в радикалах.
В мае 1831 г. Галуа арестовывают. Суд оправдывает его, но в июле он снова арестован. В тюрьме он отредактировал свои самые нажные работы и в третий раз послал их в Академию. Ответ из Академии пришел в тюрьму. Рукопись была возвращена с запиской от секретаря Академии Франсуа Араго: «Дорогой месье Галуа! Ваша рукопись была послана для ознакомления месье Пуассону. Он возвратил ее нам с отзывом, который мы здесь и приводим: «… мы приложили все усилия, чтобы понять доказательства месье Галуа. Его рассуждения недостаточно ясны, недостаточно развернуты и не дают возможности судить, насколько они точны…»».
Академия вновь отвергла его работу, не поняв ее. Впрочем, отчасти в этом был виноват и сам Галуа. В спешке он не совсем ясно излагал свои мысли, а некоторые теоремы, которые не были им доказаны, сформулировал как доказанные. Да и стиль работ Галуа был непривычен для математиков начала XIX в. Новый стиль был провозвестником математики XX в. Вместо длинных выкладок для решения проблем применялись совершенно неожиданные идеи; кроме того, в его работах было слишком много новых понятий. Не удивительно, что Пуассону эти работы показались недостаточно ясными.
По состоянию здоровья Галуа переводят в тюремную больницу, где он познакомился с женщиной, из-за которой был убит на дуэли.
В последнюю ночь своей жизни он привел в порядок рукописи и написал несколько писем. Предчувствуя трагический для себя исход дуэли, он писал о сотворенном им новом, оказавшемся впоследствии очень актуальным разделе математической науки — теории групп, — полностью раскрывшем тайны существования решений алгебраических уравнений. Он делает на полях рукописи редакционные пометки и горестные замечания: «…осталось немного для завершения этих доказательств, но у меня мало времени. ..» В одном из писем, адресованном его единственному другу Огюсту Шевалье, он кратко изложил содержание своих исследований и попросил обратиться к виднейшим математикам для оценки важности этих результатов. В их истинности он не сомневался.
Утром 30 мая 1832 г. какой-то крестьянин около пруда в местечке Жантийи наткнулся на тяжело раненного в живот молодого человека. Раненого перевезли в больницу, где он скончался утром следующего дня на руках брата.
Только через 14 лет после смерти Галуа все сохранившиеся его работы (60 страниц рукописи) были разобраны и опубликованы Лиувиллем, редактором «Журнала чистой и прикладной математики». Он с трудом разобрался в сжатом тексте своего покойного ровесника и был поражен: как могли эти чудесные находки оставаться не замеченными и не повторенными так долго? Признание же пришло еще позже — в 70-х годах XIX в.
Что же сделал Галуа? После того как Абель показал, что алгебраические уравнения выше четвертой степени неразрешимы в общем виде, а решаются только в отдельных частных случаях, сам собою возник вопрос: как узнать по виду уравнения, разрешимо ли оно в радикалах? Абель начал заниматься этой проблемой, но не успел достичь цели.
Галуа хотелось понять самому и объяснить другим, почему уравнения высших степеней не решаются в радикалах. Он изобрел и этой области математики замечательную конструкцию. Оказалось, что можно присоединить к полю коэффициентов многочлена его нули и получить новое поле — расширение прежнего поля. Эту процедуру можно повторять много раз; в итоге возникает нечто ироде растущего кристалла, оси и грани которого обладают особой симметрией. И возможно, от этой симметрии зависит разрешимость исходного уравнения.
Такова была дерзкая догадка Галуа. Она оказалась верна, поэтому автора считают гением. Но не только поэтому. Еще важнее то, что Галуа сумел довести свою гипотезу до строгой теоремы. Для этого ему пришлось создать первую математическую теорию произвольных симметрии — так называемую теорию Галуа. Именно 1 алуа ввел в науку такие понятия, как группа и подгруппа, изоморфизм и гомоморфизм групп.
Если мы хотим, чтобы все элементы большего поля получались из элементов меньшего поля с помощью арифметических действий и извлечения корней, то фактор-группа симметрии поля по симметриям поля должна не только существовать, но и быть циклической. При этом группа всех симметрии поля разложится в конечную цепочку нормальных подгрупп с циклическими фактор-группами. Таким свойством обладают группы перестановок двух, трех или четырех символов. Поэтому все нули многочленов этих степеней выражаются через коэффициенты многочленов с помощью радикальных формул. Напротив, группы перестановок пяти или большего числа символов не имеют цепочки подгрупп с циклическими фактор-группами. Оттого соответствующие уравнения не разрешимы в радикалах.
Такова суть теории Галуа, созданной им в 19 лет. И в наше время она выглядит сложно для неподготовленного человека. Каково же было современникам Галуа — даже самым маститым академикам? Не удивительно, что при жизни Галуа никто не оценил его открытия по достоинству.
Сейчас имя Галуа — одно из самых популярных в математике. Группа Галуа, когомологии Галуа, поля Галуа — трудно перечислить все словосочетания, в которых встречается его фамилия.
Немецкий математик Феликс Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии» пишет: «Великие достижения Галуа простираются в следующих двух направлениях. 9 Математика древняя и юная 257
- Он создал первую решительную по замыслу классификацию иррациональностей, определяемых алгебраическими уравнениями, учение, которое еще и сегодня носит краткое название теории Галуа.
- Он далеко продвинулся в своих занятиях интегралами от произвольных алгебраических функций одной переменной — как мы теперь говорим, абелевыми интегралами — и оставил в этой области результаты, позволяющие говорить о нем как о предшественнике Римана.
И возможно, в качестве третьего пункта следовало бы упомянуть еще об одном кратком намеке, точный смысл которого, однако, трудно понять из-за чрезмерной сжатости изложения. В своем прощальном письме к Шевалье Галуа говорит об исследованиях, касающихся «ambiguite des functions» («двусмысленности функций»); вполне возможно, что здесь содержится намек на идею римановой поверхности и на понятие многосвязности. Выдающиеся достижения Галуа не могут быть оценены по достоинству без знания теории Галуа».