Георг Фридрих Бернхард Риман (1826—1866) родился в деревне Брезеленц в Ганноверском королевстве в семье лютеранского священника. Когда ему исполнилось 10 лет, с ним стал заниматься учитель, которого он вскоре превзошел. Еще учась в гимназии, он за шесть дней усвоил книгу Лежандра по теории чисел, содержавшую около 900 страниц.
В 1846 г. Риман поступил на богословский факультет Геттингенского университета, затем перешел на философский факультет, где слушал лекции Гаусса по методу наименьших квадратов. Через год он продолжил обучение в Берлинском университете, однако в 1849 г. вернулся в Геттингенский университет, профессор которого Генрих Вебер осознал гениальность Римана и приблизил робкого студента к себе. В 1850 г. Риман стал членом только что основанного тогда геттингенского физико-математического семинара, быстро поднялся в нем до положения одного из руководителей и стал ассистентом Вебера по физическому практикуму.
В декабре 1851 г. Риман получил степень доктора за диссертацию «Основы общей теории функций комплексного переменного». Как Даламбер и Коши, он исходил из гидродинамических интерпретаций теории. Следствием использования конформных отображений стало появление нового понятия — римановой поверхности, что позволило ввести в анализ топологические представления. В то время топология была еще недостаточно полно исследованным разделом математики.
Прошло около трех лет, прежде чем Риман получил право преподавать, став приват-доцентом. На начальном этапе работы доцентом Риман, будучи робким по природе, часто подвергался насмешкам со стороны коллег. Он был болезненным человеком, часто у него бывало мрачное настроение, доходившее до приступов меланхолии. Отгородившись от окружающего мира, Риман тихо жил своей необычайно богатой внутренней жизнью. У него были очевидны типичные задатки гения: внешне он был тих и чудаковат, внутренне — полон сил и размаха.
В 1855 г. умер Гаусс и на его кафедру был приглашен Дирихле, который знал о математических способностях Римана еще по Берлину. При поддержке Дирихле Риман стал читать лекции по результатам собственных исследований: о функциях комплексного переменного, и в частности об эллиптических и абелевых функциях, о гипергеометрических рядах и трансцендентных функциях. В лекциях он приводил пример непрерывной функции, не имеющей производной. Математики не хотели серьезно относиться к таким функциям и называли их «патологическими», но современный анализ показал, насколько такие функции естественны.
Риман рассматривал гипотезы, на которых основана геометрия. Пространство он вводил как топологическое многообразие произвольного числа измерений. Этот объединяющий принцип позволил Риману не только классифицировать все существовавшие виды геометрии, включая еще весьма неясную тогда неевклидову геометрию, но и создать любое число новых видов пространства, многие из которых впоследствии с пользой были введены в геометрию и математическую физику.
В 1857 г. Риман получил место экстраординарного профессора и издал работу «Теория абелевых функций». Вейерштрасс, написавший исследование на ту же тему, узнав о труде Римана, отозвал свою работу и не стал ее публиковать. Правда, вскоре Вейерштрасс нашел пробел в работе Римана, за который Риман подвергся издевательской критике со стороны профессора философии Дюринга. По указанию Вейерштрасса этот пробел устранил Шварц.
На 1857—1859 гг. приходится расцвет творчества Римана. После смерти Дирихле в 1859 г. Риман был избран ординарным профессором и занял кафедру, возглавляемую до него Гауссом и Дирихле. Последней работой Римана по математике было исследование «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (1859). Эта работа стала фундаментом для исследований других математиков на многие десятилетия. Интересы Римана переместились в область математической физики. У него имеются работы, посвященные исследованию формы Земли. Написанная в 1861 г. работа «Об одном вопросе из области теплопроводности» содержит математический аппарат квадратичных дифференциальных форм, позже использованный Эйнштейном в теории относительности.
Всего лишь три года смог Риман наслаждаться своей славой. Осенью 1862 г. он простудился, простуда вызвала обострение туберкулеза. С тех пор Риман жил в Италии, изредка возвращался в Геттинген, но не возобновлял работу в университете. Вебер и Вальтергаузен трижды добивались правительственных субсидий на лечение Римана. Когда болезнь позволяла, он продолжал трудиться. Последняя его работа — «Механизм уха» — была напечатана посмертно. Умер он 20 июля 1866 г. Ему не исполнилось и 40 лет.
За свою короткую жизнь в науке (всего 15 лет) Риман выполнил основополагающие исследования по теории аналитических функций, геометрии, топологии, теории чисел, аналитической теории дифференциальных уравнений, тригонометрическим рядам, теории интеграла. Благодаря этим исследованиям в XX в. в математике стали рассматриваться метрические и топологические пространства, был создан функциональный анализ — раздел, в котором обобщаются основные операции математического анализа: предельные переходы, дифференцирование, интегрирование. Имя Римана навеки осталось в математике, в ней используются понятия: риманова геометрия, риманова поверхность, римановы пространства, риманова кривизна, дзета-функция Римана, условия Коши — Римана, интеграл Римана, теорема Римана — Роха, лемма Римана — Лебега и др. Выдающийся математик Феликс Клейн, который студентом слушал лекции Римана, писал: «Никто другой не оказал более решительного влияния на современную математику, чем Риман» .
Память
В 1964 году Международный астрономический союз присвоил имя Римана кратеру на видимой стороне Луны. В честь Бернхарда Римана 19 октября 1994 года названа малая планета (4167) Riemann, открытая 2 октября 1978 года Л. В. Журавлёвой в Крымской астрофизической обсерватории.