Менее глубоким и самобытным, но гораздо более разносторонним математиком, чем норвежец Абель, был его соперник по научным спорам еврей Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851). Родился он в Потсдаме 10 декабря 1804 г., т. е. двумя годами раньше Абеля. Его отец был банкиром. Якоби рос в самых благоприятных условиях, в состоятельной семье с широким кругом интересов, имея возможность получить самое лучшее образование того времени.
Блестяще закончив школу, Якоби стал студентом Берлинского университета. Основное время он тратил на самостоятельное изучение трудов Эйлера, изредка посещая лекции по математике. Благодаря своим способностям он получил широкое и основательное гуманитарное образование, усердно занимаясь филологией и классическими языками. Высокий уровень научной культуры и хорошая система преподавания в Берлинском университете подготовили Якоби к плодотворной педагогической деятельности.
Защитив докторскую диссертацию в 1825 г., весной 1826 г. Якоби переселяется в Кенигсберг, где в течение 17 лет преподает математику. Характер Якоби был резким, и начало работы в Кенигсберге оказалось для него трудным, так как каждому из членов факультета он сказал что-нибудь неприятное. Но, в конце концов, его неоспоримые научные заслуги сыграли свою роль.
В сентябре 1827 г. в журнале Шумахера «Математические анналы» Якоби публикует первую общую теорему о существовании рациональных преобразований эллиптических интегралов для случая преобразований любой степени. В ноябре того же года он представляет доказательство, в котором пользуется идеей обращения эллиптических интегралов и двойной периодичностью.
Следующий, 1828 год является периодом напряженнейшего соперничества между Якоби и Абелем на почве построения теории эллиптических функций. В этом споре принципиальное различие в характерах обоих участников проявилось с особенной резкостью. Абель гениально справляется с самыми общими задачами в этой области. Математическая идея становится у него активно действующим элементом, причем в абстрактной форме, без обращения к геометрической интуиции. Якоби, напротив, хотя в отдельные моменты и руководствуется провидческой силой своего таланта, немедленно придает завоеванному четкую структуру с помощью блистательного вычислительного мастерства.
Со смертью Абеля это необычное состязание, едва ли имевшее аналоги в истории математики, обрывается. Переживший Абеля, Якоби продолжал работу один. В признание заслуг Абеля он ввел в употребление выражения «абелевы трансцендентные функции» и «теорема Абеля».
Якоби обладал не только тягой к чисто научному познанию, но и потребностью изложить познанное. Благодаря необычайной разносторонности мышления Якоби не оставил незатронутой практически ни одной области математики. Занимался он также прикладной математикой, к этим занятиям его подталкивало общение по вопросам астрономии с Бесселем. До численных приложений доведены его работы по механике, дифференциальным уравнениям в частных производных и вариационному исчислению.
От эллиптических функций Якоби переходит к абелевым функциям. Существенным пробелом теории у Абеля и Якоби следует считать полное отсутствие не только доказательства однозначности функций, полученных обращением интегралов, но даже и потребности в доказательствах такого рода. Якоби полностью игнорировал доказательства существования, необходимость которых ощущал Коши, почти всегда он рассматривал лишь «общий случай». Однажды он сказал: «Для гауссовской строгости у нас нет времени, господа».
Влияние, которое Якоби оказывал на своих учеников, было огромным. Он подчинял их своему образу мышления. Кенигсбергская школа, основанная Якоби и Францем Нейманом, представлявшим математическую физику, сыграла большую роль в развитии математики в Германии.
Напряженная разносторонняя деятельность в Кенигсберге привела Якоби в 1843 г. к истощению сил. Полтора года он отдыхал в Италии, затем переехал в Берлин, где ему была предложена чисто академическая должность без педагогических обязанностей. Но прежняя работоспособность к нему не возвращалась. Скончался он 18 февраля 1851 г. от оспы.
Состояние расцвета школы Якоби длилось еще по меньшей мере около 30 лет. Все германские университеты испытали на себе ее влияние. Учениками Якоби считали себя и известные французские математики Эрмит и Лиувилль.