Семейство Бернулли
В отличие от Ньютона, не имевшего учеников, Лейбниц был основателем блестящей школы математиков. Ближайшими помощниками Лейбница в развитии анализа и других направлений математики стали братья Якоб и Иоганн Бернулли.
Род Бернулли — выдающееся явление в истории науки и культуры. Он дал девять крупных математиков, из них три выдающихся (Якоб, Иоганн, Даниил). У старшего брата, Якоба, сын был художником. У Иоганна было пятеро сыновей, но научной деятельностью занимались только трое старших — Николай, именуемый обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн II. Все три сына Иоганна I были профессорами математики. У Иоганна II было два сына математика — Иоганн III, академик Берлинской Академии наук Якоб II — математик Петербургской Академии наук, утонувший в Неве в тридцатилетнем возрасте. После них в семье Бернулли математиков не было.
Кафедру математики Базельского университета Бернулли возглавляли в течение 105 лет практически без перерыва. Профессорами того же университета (на разных кафедрах) Бернулли состояли более 200 лет. Кресло академика Парижской Академии наук было занято ими подряд 100 лет. Пятеро математиков Бернулли были академиками Петербургской Академии наук.
Помимо математиков в роду Бернулли были историки, архитекторы, юристы, искусствоведы и т.д. Не менее 30 представителей рода Бернулли обладали талантами в различных областях деятельности.
Якоб Бернулли
Ветвь математиков Бернулли начинается с Якоба (1654—1705). Он родился в Базеле, куда семья Бернулли переехала из Амстердама, спасаясь от гонений на протестантов.
Якоб окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки, готовился к тому, чтобы стать богословом. Он рано увлекся математикой и астрономией, изучал их самостоятельно, тайком от отца и почти без учебников. В 1671 г. он получил степень магистра философии, владел французским, немецким, английским, итальянским, латинским и греческим языками. С большим успехом читал проповеди на немецком и французском языках. Якоб любил путешествовать. В Генуе, например, он прожил 20 месяцев и обучал слепую девушку логике, истории, физике и т. д.
В 1681 г. Якоб Бернулли опубликовал первую научную работу по астрономии, посвященную кометам, в которой утверждал, что кометы — не некий воздушный феномен, а небесные тела с определенными траекториями движения. Статья вызвала критику богословов. По официальной версии, кометы представляли собой знаки Божьего гнева. Во втором издании статьи Якоб дал иное объяснение: ядро кометы — обычное небесное тело, а хвост — знак того, что Господь гневается, и размер хвоста соответствует силе гнева . В 1682 г. Якоб решает оставить церковную карьеру и посвятить себя точным наукам.
В 1686 г. оказалась вакантной должность математика в Базель- ском университете. Сенат университета единодушно выдвинул на вакантное место Якоба Бернулли. Вряд ли присутствовавшие на том скромном акте представляли, что они являются свидетелями беспримерного в истории математики события: отныне кафедра отдана попечению семейства Бернулли на 105 лет.
Основные научные интересы Якоба Бернулли были сосредоточены на развитии и применении анализа. Освоив алгоритм Лейбница, он применил его к исследованию свойств кривых. Якоб решил поставленную Лейбницем задачу об отыскании изохроны (кривой равных спусков) и опубликовал в 1690 г. свое решение. Это была первая печатная работа после статей Лейбница 1684 и 1686 гг., в которой исследование от начала до конца проводилось средствами нового исчисления. Она вызвала изумление Лейбница. В конце статьи Бернулли предложил задачу по определению кривой, которую образует цепь или гибкая нить, укрепленная в двух крайних точках. В 1692 г. им определена парусная кривая, по которой изгибается наполненный ветром парус. Бернулли принадлежит изобретение полярных координат. Он был первым, кто нашел упругую линию гибкой пластины (балки), защемленной с одного конца и нагруженной сосредоточенной силой на другом конце. Он же вывел формулу радиуса кривизны произвольной кривой.
Якоб Бернулли открыл числа, названные впоследствии его именем. Он выполнил значительные исследования в области числовых рядов. Пять его работ под общим названием «Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (1689— 1704) были первым руководством по теории числовых рядов.
Основополагающий вклад внес Якоб Бернулли в теорию вероятностей. Им разработана схема Бернулли — одна из основных моделей теории вероятностей. Она позволила открыть важнейшую закономерность теории вероятностей, простейшую форму закона больших чисел, теорему, названную впоследствии его именем. Его сочинение «Искусство умозаключений» было издано в 1713 г. Он занимался также физическими задачами: определением центров качания тел, вычислением сопротивления жидкости движущимся в ней телам различной формы.
Еще в первые годы своих занятий высшей математикой Якоб изучал логарифмическую спираль и открыл многие ее свойства. Он гак высоко ценил эту свою работу, что завещал изобразить логарифмическую спираль на его надгробном камне, что и было сделано.
Иоганн Бернулли
Третий сын и десятый ребенок в семье, Иоганн Бернулли (1667— 1748) был младшим братом Якоба. В Базельский университет он поступил в 1683 г. Вскоре защитил диссертацию, написанную латинскими стихами, и получил степень бакалавра. В 1685 г. защитил еще одну диссертацию, написанную стихами на греческом языке, и получил степень магистра искусств (доктора философии, как сам он пишет в «Автобиографии»). В то же время по совету старшего брата Якоба он стал заниматься математикой и медициной. Легкость, с которой Иоганн овладевал математикой, поразительна. За два года им были изучены все известные в то время труды древних и новых математиков, включая «Геометрию» Декарта. В 1687 г. Якоб увидел статью Лейбница, опубликованную тремя годами раньше, в которой был изложен новый метод исчисления. Сначала братья не до конца поняли его и послали Лейбницу письмо с просьбой о более подробных разъяснениях. Лейбниц в то время путешествовал. Письмо Бернулли к Лейбницу лежало в Ганновере, дожидаясь адресата, до 1690 г. К тому времени, когда Лейбниц ответил, братья уже настолько овладели новым исчислением, что Лейбниц им был нужен уже не как наставник, а как единомышленник. Между Иоганном Бернулли и Лейбницем началась переписка, которая продолжалась до смерти Лейбница. Из всего грандиозного эпистолярного наследия Лейбница (15 тыс. писем) его переписка с Бернулли выделяется и объемом, и значением для истории культуры.
Одновременно с математикой Иоганн изучал медицину: в сентябре 1690 г. он защитил диссертацию по медицине, получил звание лиценциата медицины, дающее право на чтение лекций.
Путешествуя, Иоганн Бернулли познакомился в Париже с Гийомом Франсуа Лопиталем, имевшим репутацию одного из крупнейших французских математиков. Лопиталь обнаружил, что считаемые им очень трудными задачи Иоганн решает быстро и легко. Он был так поражен, что, не посчитавшись ни с возрастом Иоганна (тот был младше на шесть лет), ни с общественным положением (Лопи- таль — маркиз, владелец богатейшего майората), попросил Иоганна прочитать ему лекции по новому исчислению. Сначала это были беседы, но вскоре Лопиталь предложил Иоганну передавать ему заранее написанные лекции. Иоганн принял предложение. Вероятно, он думал воспользоваться ими впоследствии для создания своего курса, так как снимал копии лекций. В «Автобиографии» Иоганн умолчал, что получил от Лопиталя за свой труд значительный гонорар . Однако Лопиталь опередил учителя и издал «Анализ бесконечно малых» в 1693 г. Это был первый учебник по математическому анализу, а курс Иоганна Бернулли увидел свет не скоро: в третьем томе его сочинений (1742) напечатаны «Математические лекции о методе интегрирования и других вопросах, написанные для знаменитейшего маркиза Лопиталя», тогда как «Лекции по исчислению дифференциалов» были найдены в рукописях и напечатаны лишь в 1922 г. Несмотря на то, что курс был прочитан одному слушателю, он сыграл существенную роль в становлении анализа, так как благодаря Лопиталю стал известен многим. С тех пор правило раскрытия неопределенностей вида и при вычислении пределов стало называться правилом Лопиталя.
В ноябре 1692 г. Иоганн возвратился в Базель и продолжал изучать медицину. В 1694 г. он получил степень доктора медицины после защиты диссертации «Соискательная физико-анатомическая диссертация о движении мускулов», в которой задачи о форме и движении мускулов решались методом анализа бесконечно малых.
Через несколько дней после защиты Иоганн женился. В Базеле, где университетская кафедра математики была занята его старшим братом, Иоганн не мог рассчитывать на соответствующее его квалификации место и поэтому переехал в Гронинген (на северо-западе Голландии), где прожил 10 лет. Кроме курса математики он читал еще экспериментальную физику.
Для истории математики чрезвычайно интересен спор, возникший между братьями Бернулли и длившийся более 10 лет. Самомнение Иоганна и зависть внушили ему мысль о том, что Якоб уступает ему в способностях и что не следует считать его значительным математиком. Видимым поводом для этого было то, что решения Иоганна блистали изяществом и простотой, в то время как решения Якоба Бернулли отличались внешней громоздкостью. Однако решения Якоба, несмотря на их громоздкость, всегда были фундаментальными и глубокими, и, по мнению некоторых исследователей, он был талантливее. Якоб был обижен нападками брата, его раздражительность усиливалась тяжелым заболеванием (он был болен туберкулезом). Спор велся в резких тонах, сопровождался взаимными насмешками, оскорблениями. В 1695 г. Якоб предал его гласности.
В 1696 г. Иоганн Бернулли предложил всем математикам решить знаменитую задачу о брахистохроне. Многие математики откликнулись на приглашение И. Бернулли. Одним из первых решил задачу о брахистохроне Лейбниц. Проблема ему очень понравилась, и он назвал ее прекрасной. Затем о своих успехах сообщили Якоб Бернулли и Лопиталь. Иоганн Бернулли, разумеется, располагал собственным решением. Кроме решений перечисленных авторов было опубликовано и еще одно безымянное решение, в котором знатоки сразу же узнали стиль Ньютона («По когтям узнают льва» — эту латинскую поговорку процитировал И. Бернулли). Ньютон позже признался, что нашел решение задачи после 12 часов непрерывного обдумывания. Все авторы пришли к одному и тому же результату: брахистохроной является циклоида.
Задача о брахистохроне сыграла важную роль в развитии математического анализа и оказалась первой в ряду задач, на основе которых сформировалось вариационное исчисление.
После решения задач о брахистохроне Якоб предложил для решения изопериметрическую задачу. Иоганн объявил, что ему достаточно трех минут для преодоления трудностей. На это Якоб ответил, что он разгадает метод решения брата, укажет ошибку в нем и опубликует правильное решение. За неисполнение обещания он обязался уплатить круглую сумму. Спор между братьями шел, как говорится, «на характер», изнурял ту и другую сторону и окончился только со смертью Якоба в 1705 г.
В 1705 г. Иоганн покинул Гронинген и занял кафедру математики в Базельском университете, освободившуюся после смерти брата. Иоганн Бернулли возглавлял кафедру математики 42 года. Его лекции слушали студенты, профессора, доктора, академики из Англии, Франции, Италии, Швеции и других стран. Он вел чрезвычайно деятельную жизнь: читал лекции, председательствовал и выступал на диспутах, руководил факультетом и университетом (был восемь раз деканом философского факультета и два раза ректором университета), переписывался с математиками, физиками, должностными лицами академий, членами которых он состоял. Как многие крупные ученые, он был счастлив в учениках (Лопиталь, Клеро, Эйлер, сыновья, Г. Крамер и другие известные математики).
Необыкновенно крепкое здоровье И. Бернулли заметно пошатнулось лишь в последние недели 1747 г., но так сильна была его привычка к труду, что он продолжал ежедневно трудиться до полуночи. Скончался он в 1748 г. в возрасте 85 лет. Интересно отметить, что траурную речь над его могилой произнес дядя Эйлера, священник Генрих Брукер.
Заслуги И. Бернулли в науке чрезвычайно важны. Вместе с братом он утвердил, развил и систематизированно изложил методы дифференциального и интегрального исчислений, установил их применимость к различным областям науки. Он нашел новые методы решения дифференциальных уравнений, был одним из создателей вариационного исчисления, впервые поставил задачу о геодезических линиях, открыл геометрическое свойство геодезических линий и составил их дифференциальное уравнение, успешно решал задачи по теории колебаний, теории удара, гидравлике, сформулировал принцип возможных перемещений.
Вот какую оценку творчества Якоба и Иоганна Бернулли дал Лейбниц в 1701 г. (когда Якобу было 46 лет, а Иоганну — 34 года): «Я ценю их обоих, как только можно ценить наиболее глубоких гениев в математике. Я многим обязан тому и другому… так как главным образом благодаря их открытиям разрозненные семена моего метода смогли принести столько добрых плодов» .
Даниил Бернулли
Даниил Бернулли (1700—1782) — один из сыновей Иоганна Бернулли. Родился он в Гронингене. Под руководством отца и отчасти старшего брата он рано приобщился к занятиям математикой и, кроме того, занимался физиологией и медициной. В 1725—1733 гг. Даниил был профессором Петербургской Академии наук, позднее — ее почетным членом. По его рекомендации в Петербург был приглашен Эйлер.
Даниил Бернулли впервые применил математический анализ к теории вероятностей, а теорию вероятностей — к демографии. Он дал определение числа : Им разработаны важные проблемы гидродинамики. За работы по математике и физике он получил 10 премий Парижской Академии наук.
Когда Даниил, будучи уже профессором и академиком, создал в 1738 г. свою знаменитую «Гидродинамику», Иоганн Бернулли не мог допустить даже мысли, что сын оказался талантливее его самого — пусть даже в какой-то специальной области. Он публично заявил, что вынашивал те же идеи чуть ли не 10 лет, сформулировал их по-своему и включил в собрание своих сочинений. Даниил оказался в глазах ученого мира лишь распространителем идей знаменитого отца. Даниил жаловался Эйлеру: «Я не взял у него ни единого слова».