Жюль Анри Пуанкаре (1854—1912) родился в Нанси (Лотарингия, Франция) в семье врача Леона Пуанкаре. Он является двоюродным братом президента Франции с 1913 по 1920 г. Раймона Пуанкаре. Родственников удивляла и тревожила необычная рассеянность маленького Анри, о которой будут рассказывать легенды. Она свидетельствовала о его врожденной способности почти полностью отвлекаться от окружающей действительности, глубоко уходя в свой внутренний мир. В детстве Анри заболел дифтерией с осложнением в виде паралича ног и мягкого неба. Паралич ног отступил быстро, но говорить мальчик долго не мог. Для лежащего Анри слух стал единственным связующим звеном с остальной частью дома. Много лет спустя психологи, обследуя гениального ученого, отметили у него красочное восприятие звуков. Каждый гласный звук ассоциировался у него с каким-то цветом. Эта способность сохранилась до конца жизни. После болезни Анри очень переменился не только внешне, но и внутренне. Он стал робким, мягким и застенчивым. Его отличная слуховая память перешла в своеобразную, резко индивидуальную манеру усвоения знаний без фиксации на бумаге. На всю жизнь осталось у него пренебрежение к «писанине».
Пуанкаре был прилежным, любознательным учеником. Несмотря на успехи в математике, он учился на отделении словесности, усиленно штудируя латынь, изучая античных и новых классиков. В 1871 г. он стал бакалавром словесности и изъявил желание участвовать в экзаменах на степень бакалавра наук. Подвела его письменная работа по математике, которую Анри попросту провалил. Университетские профессора отнеслись к его провалу как к досадному недоразумению, и ему была присуждена степень бакалавра наук.
В октябре 1873 г. Анри поступил в Политехническую школу в Париже, а в 1875 г. — в Горный институт, куда принимались наиболее выдающиеся выпускники Политехнической школы.
С 1879 г. он начал преподавать математику в высших учебных заведениях. Два года он вел курс математического анализа на факультете наук в Кане, где опубликовал серию из 25 заметок и несколько обширных работ. Эти работы привлекли внимание Вейерштрасса, о чем он написал в письме к Софье Ковалевской. Пуанкаре предложили в 1881г. должность преподавателя на факультете наук в Парижском университете. Сначала он преподавал анализ, с 1885 г. — математическую физику, с 1896 г. — астрономию.
В 1887 г. Пуанкаре был избран членом Парижской Академии наук и, «обрастая» все новыми и новыми почетными постами и званиями, вскоре сделался признанным главой французской математики. После смерти Коши до Пуанкаре этот почетный статус имел профессор Нормальной школы и Парижского университета Шарль Эрмит.
Лекции, которые Пуанкаре читал в Сорбонне, каждый год по новому курсу, были изданы слушателями. Эти лекции охватывают обширную область точных наук: теорию потенциала, оптику, электричество, теплопроводность, капиллярность, электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику, теорию вероятностей. Пуанкаре опубликовал большое число работ по автоморфным и фуксовым функциям, по дифференциальным уравнениям, по топологии и по основам математики. Его считают первым математиком мира на рубеже XIX и XX вв.
Питая особый интерес к задачам небесной механики (особенно к проблеме трех тел), Пуанкаре для их решения исследовал расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, исследовал устойчивость орбит и форму небесных тел.
Подобно Эйлеру, Пуанкаре за короткий срок переосмыслил и обновил складывающийся в течение двух столетий математический аппарат небесной механики. В трехтомном трактате «Новые методы небесной механики» (1892—1899) он исследовал периодические и асимптотические решения дифференциальных уравнений, ввел методы малого параметра, метод неподвижных точек. Метод интегральных инвариантов, использованный Пуанкаре, стал классическим средством теоретического исследования не только в механике и астрономии, но и в статистической физике, и в квантовой механике. Его вклад в небесную механику был столь значительным, что на вакантное место главы кафедры небесной механики Сорбонны он утверждается единогласно. Оставив кафедру математической физики и теории вероятностей, которой руководил 10 лет, с осени 1896 г. профессор Пуанкаре уже ведет курсы по некоторым разделам небесной механики. Работая над вопросами небесной механики, он одновременно закладывает основы топологии.
В начале XX в. Пуанкаре и Гильберт считались крупнейшими математиками планеты. Между ними разгорелась дискуссия на тему «Формализуема ли математика?». Ход этой дискуссии осветил И.Р. Шафаревич в докладе, сделанном 28 сентября 1993 г. на собрании Японского математического общества.
Гильберт считал, что математика формализуема, и путем ее формализации надеялся получить доказательство непротиворечивости арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним. Позже теорема неполноты Геделя, по-видимому, позволила решить вопрос в пользу Пуанкаре.
Пуанкаре подчеркивает роль интуиции в математическом рассуждении. Он говорит, что математическое рассуждение имеет «род творческой силы» и тем отличается от цепи силлогизмов. Особым образом он выделяет математическую интуицию, которая, как он считал, содержит бесконечное число силлогизмов, как бы сжатое в одной формуле. Читая его высказывание о том, что математик в принципе отличается от шахматиста тем, что он не может быть заменен никаким механическим устройством, можно предложить, что ему не хватало лишь нужного термина, чтобы сформулировать свою мысль короче: «математик не может быть заменен компьютером».
Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем — для ее освоения требовалась бы лишь хорошая память. Известно, что большинству людей математика дается с трудом. Пуанкаре видит причину этого в том, что силлогизмы складываются в математике в «структуру», обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо «увидеть» эту красоту, а для этого требуются эстетические способности, которыми обладают не все.
В 1905 г. Венгерская Академия наук учредила премию в 10 тыс. золотых крон ученому, чей вклад в развитие математики за последние 25 лет был наибольшим. Эта премия стала известна как премия Больяй. Фактически на нее претендовали только двое — Пуанкаре и Гильберт. Премию вручили Пуанкаре, математическая карьера которого началась в 1879 г., когда Гильберт был еще учеником гимназии.
Пуанкаре оказал самое непосредственное влияние на развитие теоретической мысли в период кризиса классической физики. В 1904 г. на Международном конгрессе математиков в Сен-Луи (США) он сформулировал закон, который позже назвал постулатом относительности. Летом 1905 г. в статье «О динамике электрона» он изложил идеи, вошедшие основной частью в теорию относительности Эйнштейна. Теория относительности не родилась бы в голове Эйнштейна, если бы с ранней юности в ней не поселилась неотвязная мысль: «Как соотносятся математика и реальный мир?». Пуанкаре считал — никак. По его мнению, каждый может выбирать себе любую геометрию — Евклида, Лобачевского, Римана или свою собственную непротиворечивую систему аксиом, из которой логически следуют все теоремы. Быть может, именно это «заблуждение» помешало Пуанкаре открыть теорию относительности, ведь математически он был подкован лучше Эйнштейна, который считал, что ученый не волен в выборе геометрии, его математика должна проверяться окружающим миром. Тезис о произвольности геометрии в начале XX в. был для физиков слишком революционным, и они к нему не были готовы. По-настоящему они восприняли его только во второй половине XX в.
Деятельность Пуанкаре отличалась исключительной продуктивностью и многосторонностью. Даже в последние годы жизни он с удивительной легкостью входил в курс любых проблем, возникающих в точных науках, и творчески развивал их, всюду пролагая новые пути. Пуанкаре является основателем комбинаторной топологии. Он преобразовал «истинно топологическую» формулу Эйлера для вершин, ребер и граней многогранников таким образом, что она стала применима для пространств любого числа измерений.
Подобно Коши, Пуанкаре публиковал свои работы очень быстро и потому не всегда тщательно отделывал их, особенно ранние. Впоследствии у него развился блестящий и ясный стиль, который в сочетании с неисчерпаемым запасом замечательных по своей глубине идей принес огромный успех его трудам по философии математики, получившим широкую известность.
Американский историк науки Е. Белл отметил многогранность научного мышления Пуанкаре, назвав его «последним универсалистом». Последним потому, что им и Гильбертом замыкается шеренга великих математиков, снискавших славу универсалистов.